Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，且AB=4，點C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點O，P為半圓上任意一點，過P點作PE⊥OC于點E，設△OPE的內心為M，連接OM、PM．

（1）求∠OMP的度數；

（2）當點P在半圓上從點B運動到點A時，求內心M所經過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）∠PMO=135°；（2）內心M所經過的路徑長為2πcm．

【解析】

（1）先判斷出∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，再用三角形的內角和定理即可得出結論；

（2）分兩種情況，當點M在扇形BOC和扇形AOC內，先求出∠CMO=135°，進而判斷出點M的軌跡，再求出∠OO'C=90°，最后用弧長公式即可得出結論．

（1）∵△OPE的內心為M，

∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，

∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣（∠EOP+∠OPE），

∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，

∴∠PMO=180°﹣（∠EOP+∠OPE）=180°﹣（180°﹣90°）=135°；

（2）如圖，∵OP=OC，OM=OM，

而∠MOP=∠MOC，

∴△OPM≌△OCM，

∴∠CMO=∠PMO=135°，

所以點M在以OC為弦，并且所對的圓周角為135°的兩段劣弧上（和）；

點M在扇形BOC內時，

過C、M、O三點作⊙O′，連O′C，O′O，

在優弧CO取點D，連DA，DO，

∵∠CMO=135°，

∴∠CDO=180°﹣135°=45°，

∴∠CO′O=90°，而OA=4cm，

∴O′O=OC=×4=2，

∴弧OMC的長==π（cm），

同理：點M在扇形AOC內時，同①的方法得，弧ONC的長為πcm，

所以內心M所經過的路徑長為2×π=2πcm．