Question

【題目】如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°， BC=12cm，半圓O以 2cm/s 的速度從左向右運動，在運動過程中，點 D 、E 始終在直線BC 上．設運動時間為t（s） ，當t=0s時，半圓O在△ABC的左側，OC=8cm。

（1）當t =(s)時，⊙O與AC所在直線第一次相切，點 C 到直線 AB 的距離為；
（2）當 t為何值時，直線 AB 與半圓O所在的圓相切；
（3）當△ABC的一邊所在直線與圓O相切時，若⊙O與△ABC有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）1.,6.
（2）解：如圖2：

過點C作CF⊥AB于點F，
∴OF=6，
當直線AB于半圓O所在的圓相切時，
∵圓心O到AB的距離為6，半圓的半徑為6，且圓心O又在BC上，
∴點O與點C重合，
即當點O運動到點C時，半圓O與ABC的邊AB相切，此時點O運動了8cm，t=82=4，
如圖3：

當點O運動到點B的右側時，且OB=12 ,
過點O作OQ⊥AB于點Q，
在RtOQB中，∠OBQ=30°，則OQ=OB=6，
即OQ與半圓O所在的圓相切，此時點O運動了12+12+8=32cm，t=322=16，
綜上，當t為4秒或6秒時，直線 AB 與半圓O所在的圓相切.

（3）解：①當半圓O與AB邊相切于點F時，如圖2：

重疊部分的面積S=62=9；
②當半圓O與AC相切與點C時，如圖4：

連接OG，
∵BC=DE=12，
∴點C與點D重合，點E與點B重合，
∵OG=OB，
∴∠ABC=∠OGB=30°，
∴∠COG=60°，
過點O作OH⊥AB于點H，
∵OB=6，
∴OH=OB=3，
∴BH=,
∴BG=2BH=，
此時重疊部分的面積S==;
綜上，重疊部分的面積為9 cm2或（）cm2.

【解析】解：（1）∵DE=12，
∴OE=OD=6，
∵OC=8，
∴EC=8-6=2，
∴t=22=1，
∴當t=1時，⊙O與AC所在直線第一次相切；
如圖1，

過點C作CF⊥AB于F，
在RtBCF中，∵∠ABC=30°，BC=12，
∴CF=BC=6，
所以答案是：1，6.

【考點精析】利用勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．