Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于兩個點P，Q和圖形W，如果在圖形W上存在點M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么稱點P與點Q是圖形W的一對平衡點．

（1）如圖1，已知點A（0，3），B（2，3）．

①設點O與線段AB上一點的距離為d，則d的最小值是　 　，最大值是　 　；

②在P1（，0），P2（1，4），P3（﹣3，0）這三個點中，與點O是線段AB的一對平衡點的是　 　

（2）如圖2，已知圓O的半徑為1，點D的坐標為（5，0），若點E（x，2）在第一象限，且點D與點E是圓O的一對平衡點，求x的取值范圍．

（3）如圖3，已知點H（﹣3，0），以點O為圓心，OH長為半徑畫弧交x軸的正半軸于點K，點C（a，b）（其中b≥0）是坐標平面內一個動點，且OC＝5，圓C是以點C為圓心，半徑為2的圓，若弧HK上的任意兩個點都是圓C的一對平衡點，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）3，，P1；（2）滿足條件的x的值為≤x≤3；（3）滿足條件的b的值為≤b≤5．

【解析】

（1）①觀察圖象d的最小值是OA長，最大值是OB長，由勾股定理得出結果；②由題意知P1；
（2）如圖，可得OE1=3，解得此時x=，OE2=7，解得x=3，可求出范圍；
（3）由點C在以O為圓心5為半徑的上半圓上運動，推出以C為圓心2為半徑的圓剛好與弧HK相切，此時要想弧HK上任意兩點都是圓C的平衡點，需要滿足CK≤6，CH≤6，分兩種情形分別求出b的值即可判斷．

（1）①由題意知：OA＝3，OB＝，則d的最小值是3，最大值是 ；

②根據平衡點的定義，點P1與點O是線段AB的一對平衡點，

故答案為3， ，P1．

（2）如圖2中，

由題意點D到⊙O的最近距離是4，最遠距離是6，

∵點D與點E是⊙O的一對平衡點，此時需要滿足E1到⊙O的最大距離是4，即OE1＝3，可得x＝

同理：當E2到⊙的最小距離為是6時，OE2＝7，此時x＝

綜上所述，滿足條件的x的值為

（3）∵點C在以O為圓心5為半徑的上半圓上運動，

∴以C為圓心2為半徑的圓剛好與弧HK相切，此時要想弧HK上任意兩點都是圓C的平衡點，需要滿足CK≤6，CH≤6，

如圖3﹣1中，當CK＝6時，作CM⊥HK于H．

由題意：

解得：或（舍棄），

如圖3﹣3中，當CH＝6時，同法可得

在兩者中間時，a＝0，b＝5，

觀察圖象可知：滿足條件的b的值為