Question

【題目】如圖,AB=16,O為AB中點,點C在線段OB上(不與點O,B重合),將OC繞點O逆時針旋轉 270°后得到扇形COD,AP,BQ分別切優弧CD于點P，Q，且點P，Q在AB異側，連接OP.

（1）求證：AP=BQ；

（2）當BQ= 時,求的長(結果保留 )；

（3）若△APO的外心在扇形COD的內部，求OC的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）4<OC<8.

【解析】

（1） 連接OQ，由切線性質得∠APO=∠BQO=90°，由直角三角形判定HL得Rt△APO≌Rt△BQO，再由全等三角形性質即可得證.

（2）由（1）中全等三角形性質得∠AOP=∠BOQ，從而可得P、O、Q三點共線，在Rt△BOQ中，根據余弦定義可得cosB=， 由特殊角的三角函數值可得∠B=30°，∠BOQ=60° ，根據直角三角形的性質得 OQ=4， 結合題意可得 ∠QOD度數，由弧長公式即可求得答案.

（3）由直角三角形性質可得△APO的外心是OA的中點 ，結合題意可得OC取值范圍.

（1）證明：連接OQ.

∵AP、BQ是⊙O的切線，

∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，

∴∠APO=∠BQO=90，

在Rt△APO和Rt△BQO中，

，

∴Rt△APO≌Rt△BQO，

∴AP=BQ.

（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，

∴∠AOP=∠BOQ，

∴P、O、Q三點共線，

∵在Rt△BOQ中,cosB=，

∴∠B=30,∠BOQ= 60° ，

∴OQ=OB=4，

∵∠COD=90°，

∴∠QOD= 90°+ 60° = 150°，

∴優弧QD的長=，

（3）解：設點M為Rt△APO的外心，則M為OA的中點，
∵OA=8，
∴OM=4，
∴當△APO的外心在扇形COD的內部時，OM＜OC，
∴OC的取值范圍為4＜OC＜8．