Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，ED切⊙O于點C，AD交⊙O于點F，連接AC，BF，且BF∥CD．

（1）求證：AC平分∠BAD；

（2）若⊙O的半徑為，AF＝2，求CD的長度．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)4.

【解析】

（1）連接OC，交BF于點H，由ED切⊙O于點C，可得OC⊥DE，因為AB為⊙O的直徑，可得BF⊥AD，由BF∥CD，可得ED⊥AD，進而得出OC∥AD，即可推出AC平分∠BAD；

（2）在Rt△ABF中，⊙O的半徑為，AF＝2，可求得BF的長，再證明四邊形HFDC為矩形，可得CD＝HF＝BF，即可得出CD的長．

(1)如圖，連接OC，交BF于點H，

∵ED切⊙O于點C，

∴OC⊥DE，

∵AB為⊙O的直徑，

∴BF⊥AD，

∵BF∥CD，

∴ED⊥AD，

∴OC∥AD，

∴∠OCA＝∠CAD，

∵OC＝OA，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠OAC＝∠CAD，

∴AC平分∠BAD；

(2)∵⊙O的半徑為，AF＝2，∠AFB＝90°，

∴

由(1)知，∠D＝∠HFD＝∠OCD＝90°，

∴四邊形HFDC為矩形，

∴OC⊥BF，

∴CD＝HF＝BF＝4．