Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點(點在點左側)，與軸交于點，連接，將沿所在的直線翻折，得到，連接 ．

(1)點的坐標為 ，點的坐標為 ；

(2)如圖1，若點落在拋物線的對稱軸上，且在軸上方，求拋物線的解析式．

(3)設的面積為，的面積為，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）；（3）或m=

【解析】

（1）令=0，求出x的值，即可求解；

（2）過點B作y軸的平行線BQ，過點D作x軸的平行線交y軸于點P、交BQ于點Q，證明△CPD∽△DQB，則，代入即可求解；

（3）連接OD交BC于點H，則DO⊥BC，過點H、D分別作x軸的垂線交于點N、M，用含m的式子表示S1,S2,根據得到DM＝-m，進而表示出HN＝DM＝-m根據OC∥HN得到△BOC∽△BNH，得到，求出BN，ON，根據垂直關系得到∠BHN＝∠HON，由正切的定義可知，從而得到關于m的方程，故可求解．

（1）令=0，

解得x1=-1,x2=3

∴A（-1,0），B（3,0）

故答案為：（-1，0）；（3，0）；

（2）過點B作y軸的平行線BQ，過點D作x軸的平行線交y軸于點P、交BQ于點Q，

∵∠CDP＋∠DCP＝90°，∠PDC＋∠QDB＝90°，

∴∠QDB＝∠DCP，

∵對稱軸x=-，

設：D（1，n）（n＞0），點C（0，3m），

∵∠CPD＝∠BQD＝90°，

∴△CPD∽△DQB，

∴，

其中：CP＝n＋3m，DQ＝31＝2，PD＝1，BQ＝n，CD＝CO=3m，BD＝OB=3，

將以上數值代入比例式得

p>解得n=，m=

故拋物線的表達式為：；

（3）如圖2，連接OD交BC于點H，則DO⊥BC，過點H、D分別作x軸的垂線交于點N、M，

∵OC＝3m，

S1＝S△OBD＝×OB×DM＝DM，

S2＝S△OAC＝×AO×OC=-m，而，

則DM＝-m，

∵H是OD的中點，∴HN＝DM＝-m=OC，

∵OC∥HN

∴△BOC∽△BNH

∴

∴BN＝BO＝，則ON＝3=，

則DO⊥BC，HN⊥OB，

∴∠HON+∠HBO=90°，∠BHN+∠HBO=90°，

則∠BHN＝∠HON，則tan∠BHN＝tan∠HON，

則

∴HN2＝ON×BN＝＝（-m）2，

解得：m＝±．

∴或m=．