Question

【題目】已知：如圖，在四邊形 ABCD 中， AB∥CD， ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．點 P 從點 B 出發，沿 BA 方向勻速運動，速度為 1cm/s；同時，點 Q 從點 D 出發，沿 DC 方向勻速運動，速度為 1cm/s；當一個點停止運動，另一個點也停止運動．過點 P作 PE⊥AB，交 BC 于點 E，過點 Q 作 QF∥AC，分別交 AD， OD 于點 F， G．連接 OP，EG．設運動時間為 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列問題：

（1）當 t 為何值時，點 E 在 BAC 的平分線上？

（2）設四邊形 PEGO 的面積為 S(cm2) ，求 S 與 t 的函數關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻 t ，使四邊形 PEGO 的面積最大？若存在，求出t 的值；若不存在，請說明理由；

（4）連接 OE， OQ，在運動過程中，是否存在某一時刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出t 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ，；（3）時，取得最大值；（4）時，.

【解析】

（1）當點E在∠BAC的平分線上時，因為EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此構建方程即可解決問題．

（2）根據S四邊形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）構建函數關系式即可．

（3）利用二次函數的性質解決問題即可．

（4）證明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出，由此構建方程即可解決問題．

（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，

∴AC==6（cm），

∵OD垂直平分線段AC，

∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90°，

∵CD∥AB，

∴∠BAC=∠DCO，

∵∠DOC=∠ACB，

∴△DOC∽△BCA，

∴，

∴，

∴CD=5（cm），OD=4（cm），

∵PB=t，PE⊥AB，

易知：PE=t，BE=t，

當點E在∠BAC的平分線上時，

∵EP⊥AB，EC⊥AC，

∴PE=EC，

∴t=8-t，

∴t=4．

∴當t為4秒時，點E在∠BAC的平分線上．

（2）如圖，連接OE，PC．

S四邊形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）

=

=．

（3）存在．

∵，

∴t=時，四邊形OPEG的面積最大，最大值為．

（4）存在．如圖，連接OQ．

∵OE⊥OQ，

∴∠EOC+∠QOC=90°，

∵∠QOC+∠QOG=90°，

∴∠EOC=∠QOG，

∴tan∠EOC=tan∠QOG，

∴，

∴，

整理得：5t2-66t+160=0，

解得或10（舍棄）

∴當秒時，OE⊥OQ．