Question

【題目】（閱讀）如圖1，等邊△ABC中，P是AC邊上一點，Q是CB延長線上一點，若AP＝BQ．則過P作PF∥BC交AB于F，可證△APF是等邊三角形，再證△PDF≌QDB可得D是FB的中點．請寫出證明過程．

（運用）如圖2，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A，C不重合），Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）當∠BQD＝30°時，求AP的長；

（2）在運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，直接寫出線段ED的長；如果發生改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】“閱讀”詳見解析；“運用”（1）AP＝2；（2）運動過程中線段ED的長始終為3．

【解析】

【閱讀】

：由△ABC是等邊三角形和PF∥BC可得PF＝BQ，進而證△PFD≌△QBD得DF＝DB．
【運用】：（1）由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設AP=x，則PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6-x=（6+x），求出x的值即可；
（2）作QG⊥AB，交直線AB于點G，連接QE，PG，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=BQ，再根據全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQG，再由AE=BG，PE=QG且PE∥QG，可知四邊形PEQG是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BG=AB，DE=AB，由等邊△ABC的邊長為6，可得出DE=3．

解：【閱讀】證明：如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵PF∥BC，

∴∠AFP＝∠APF＝∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴AP＝PF，

∵AP＝BQ，

∴PF＝BQ，

∵PF∥BQ，

∴∠FPD＝∠DQB，∠PFD＝∠QBD，

在△PFD與△QBD中，

，

∴△PFD≌△QBD；

∴DF＝DB．

【運用】

：解：（1）如圖2中，

∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵∠BQD＝30°，

∴∠QPC＝90°，

設AP＝x，則PC＝6﹣x，QB＝x，

∴QC＝QB+BC＝6+x，

∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，

∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，

∴AP＝2；

（2）作QG⊥AB，交直線AB于點G，連接QE，PG，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠PGQ＝∠AEP＝90°，

∵點P、Q速度相同，

∴AP＝BQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠GBQ＝60°，

在△APE和△BQG中，

∵∠AEP＝∠BGQ＝90°，

∴∠APE＝∠BQG，

，

∴△APE≌△BQG（AAS），

∴AE＝BG，PE＝QG且PE∥QG，

∴四邊形PEQG是平行四邊形，

∴DE＝EG，

∵EB+AE＝BE+BG＝AB，

∴DE＝AB，

又∵等邊△ABC的邊長為6，

∴DE＝3，

故運動過程中線段ED的長始終為3．