Question

【題目】如圖，一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二根x1，x2（x1＜x2）是拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的兩個交點B，C的橫坐標，且此拋物線過點A（3，6）．

（1）求此二次函數的解析式；

（2）寫出不等式ax2+bx+c≥0的解集；

（3）設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點Q，求點P和點Q的坐標；

（4）在x軸上有一動點M，當MQ+MA取得最小值時，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣；（2）x≥1，x≤-3；（3）P（﹣1，﹣2），Q（﹣1，2）；（4）M（0，0）

【解析】

（1）先求出一元二次方程的兩個根，即可知與x軸的兩個交點的坐標，進而即可求出二次函數的解析式；

（2）根據函數圖象結合與x軸的兩個交點的坐標可直接得出不等式的解集；

（3）根據二次函數的解析式可得頂點坐標及對稱軸，根據A、C兩點坐標可求出直線AC的解析式，然后即可求出Q點的坐標；

（4）作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′Q，A′Q與x軸的交點M即為所求的點，利用待定系數法求出直線A′Q的解析式即可確定M點的坐標．

解：（1）解方程x2+2x﹣3＝0得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的兩個交點的坐標為B（1，0），C（﹣3，0），

設二次函數的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），

∵拋物線過點A（3，6），

∴6＝a（3+3）（3﹣1），

解得：a＝，

∴二次函數的解析式為y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+x﹣；

（2）∵拋物線開口向上，與x軸的兩個交點的坐標為B（1，0），C（﹣3，0），

∴不等式ax2+bx+c≥0的解集為：x≥1或x≤－3；

（3）∵y＝x2+x﹣＝（x+1）2﹣2，

∴拋物線的頂點坐標為P（﹣1，﹣2），對稱軸為x＝﹣1，

設直線AC解析式為y＝kx+b，

將A（3，6），C（﹣3，0），代入得：，

解得：，

∴直線AC解析式為y＝x+3，

將x＝﹣1代入，得y＝2，

∴Q（﹣1，2）；

（4）作點A關于x軸的對稱點A′（3，﹣6），

連接A′Q，A′Q與x軸的交點M即為所求的點，

設直線A′Q的解析式為y＝kx+b，

將A′（3，﹣6），Q（﹣1，2）代入得：，

解得：，

∴直線A′Q的解析式為y＝﹣2x，

令x＝0，則y＝0，

∴M（0，0）．