Question

如圖，直線y=

3

x，點A₁坐標為（1，0），過點A₁作x的垂線交直線于點B₁，以原點O為圓心，OB₁長為半徑畫弧交x軸于點A₂；再過點A₂x的垂線交直線于點B₂，以原點O為圓心，OB₂長為半徑畫弧交x軸于點A₃，…，按此做法進行下去，點A₅的坐標為（

 

，

 

）．

Answer 1

分析：∵點A₁坐標為（1，0），且B₁A₁⊥x軸，∴B₁的橫坐標為1，將其橫坐標代入直線解析式就可以求出B₁的坐標，就可以求出A₁B₁的值，OA₁的值，根據銳角三角函數值就可以求出∠xOB₃的度數，從而求出OB₁的值，就可以求出OA₂值，同理可以求出OB₂、OB₃…，從而尋找出點A₂、A₃…的坐標規律，最后求出A5的坐標．

解答：解：∵點A₁坐標為（1，0），
∴OA₁=1
∵B₁A₁⊥x軸
∴點B₁的橫坐標為1，且點B₁在直線上
∴y=

3

∴B₁（1，

3

）
∴A₁B₁=

3

在Rt△A₁B₁O中由勾股定理，得
OB₁=2
∴sin∠OB₁A₁=

1

2

∴∠OB₁A₁=30°
∴∠OB₁A₁=∠OB₂A₂=∠OB₃A₃=…=∠OB_nA_n=30°
∵OA₂=OB₁=2，A₂（2，0）
在Rt△OB₂A₂中，OB₂=2OA₂=4
∴OA₃=4，A3（4，0）同理，得
OA₄=8，…，0A_n=2^n-1，A_n（2^n-1，0）
∴OA₅=2^5-1=16
∴A₅（16，0）．
故答案為：（16，0）．

點評：本題是一道一次函數的綜合試題，也是一道規律試題，考查了直角三角形的性質，特別是30°所對的直角邊等于斜邊的一半的運用，點的坐標與函數圖象的關系．