Question

如圖，直線y=3x-3交x軸于B，交y軸于C，以OC為邊作正方形OCEF，E F交雙曲線y=

k

x

于點M．且FM=OB．
（1）求k的值．
（2）請你連OM、OG、GM，并求S_△OGM．
（3）點P是雙曲線上一點，點N為x軸上一點，請探究：是否存在點P、N，使以B、C、P、N為頂點組成平行四邊形？若存在，求出點P、N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由直線y=3x-3交x軸于B，交y軸于C可得出B、C兩點的坐標再根據四邊形OCEF是正方形可知OF=OC=3，由FM=OB即可求出M點的坐標，再根據E F交雙曲線y=

k

x

于點M即可得出k的值；
（2）先C點縱坐標代入y=-

3

x

求出x的值，故可得出CG、GE的長，由（1）知FM=1，故可得出ME=2，根據S_△OGM=S_{正方形OCEF}-S_△OFM-S_△OCG-S_△GEM即可得出結論；
（3）由于P、N的位置不能確定，故應分①當以BC為平行四邊形一邊，點P在第二象限的反比例函數上；當以BC為平行四邊形一邊，點P在第四象限的反比例函數上；當以BC為對角線時三種情況進行討論．

解答：解：（1）∵直線y=3x-3交x軸于B，交y軸于C
∴B（1，0），C（0，-3）
∵四邊形OCEF是正方形，
∴OF=OC=3，
又∵FM=OB，
∴M（3，-1），
∵E、F交雙曲線y=

k

x

于點M，
∴k=-3；

（2）∵把y=-3代入y=-

3

x

得x=1，即CG=1，
∴GE=2
由（1）知FM=1，
∴ME=2，
∴S_△OGM=S_{正方形OCEF}-S_△OFM-S_△OCG-S_△GEM
=3×3-3×1÷2-3×1÷2-2×2÷2
=9-

3

2

-

3

2

-2=4；

（3）①當以BC為平行四邊形一邊，點P在第二象限的反比例函數上時，y_p=OC=3，
∵y_p=

-3

xp

，
∴x_p=-1，
∴過點P（-1，3）；
∵x_P-x_N=OB=1，
∴x_N=-2，
∴N（-2，0）；
②當以BC為平行四邊形一邊，點P在第四象限的反比例函數上時，
∵CP∥BN，
∴CP∥x軸，
∴y_p=-OC=-3，
∵y_p=

-3

xp

，
∴x_p=1，
∴P（1，-3），
∴BN=PC=1，
∴N（2，0）．
③∵當以BC為對角線時PN必定與BC互相平分，
∴同時有P、N在BC的兩側，
∴點P在第四象限的反比例函數上，
∴CP∥BN即CP∥x軸，CP=BN且N在點P的左邊，由②可知P（1，-3），PC=1，
∴x_B-x_N=PC=1，
∴x_N=0，
∴N（0，0）．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到正方形的性質、平行四邊形的性質及反比例函數圖象上點的坐標特點等知識，難度較大．