Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC中，AB= ,AH⊥BC于點H，過點B作BD⊥AB交線段AH的延

長線于點D，連結CD. 點E為線段AD上一點(不與點A，D重合)，過點E作EF∥AB交BC于點

F，以EF為直徑作⊙O. 設AE的長為.

（1）求線段CD的長度.

（2）當點E在線段AH上時，用含x的代數式表示EF的長度.

（3） 當⊙O與四邊形ABDC的一邊所在直線相切時，求所有滿足條件的的值.

Answer 1

【答案】(1)2;(2) ;(3) 或或 ;

【解析】（1）根據等邊三角形的性質可知，容易證明≌,

（2）

根據EF∥AB， 即得到.

(3)分① 當⊙O與AC相切于點M時，②當⊙O與AB相切于點P時，③ 當⊙O與CD相切于點K時，三種情況進行討論即可.

（1）根據等邊三角形的性質可知，

容易證明≌,

（2）

根據EF∥AB，

即

得到.

（3） ① 當⊙O與AC相切于點M時，如圖①.

,

,

②當⊙O與AB相切于點P時，如圖②.

,

, .

③ 當⊙O與CD相切于點K時，如圖③.

連結HO.

∵ ∠OHE+∠CDH=30°+60°=90°

∴ HO⊥CD

∵ OK⊥CD

∴ 點H,O,K三點共線.

,

,

綜上所述，x的值為或或.