Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，的頂點坐標分別是，對于的橫長、縱長、縱橫比給出如下定義：

將中的最大值，稱為的橫長，記作；將中的最大值，稱為的縱長，記作；將叫做的縱橫比，記作．

例如：如圖的三個頂點的坐標分別是，則，

所以．

如圖2，點，

點，

則的縱橫比______

的縱橫比______；

點F在第四象限，若的縱橫比為1，寫出一個符合條件的點F的坐標；

點M是雙曲線上一個動點，若的縱橫比為1，求點M的坐標；

如圖3，點以為圓心，1為半徑，點N是上一個動點，直接寫出的縱橫比的取值范圍．

Answer 1

【答案】 1

【解析】分析：（1）①根據縱橫比的定義計算即可；
②點F在第四象限的角平分線上即可；
③分三種情形討論即可．
（2）如圖3中，當當時，可得的縱橫比的最大值，

當與相切時，切點在第二象限時，可得的縱橫比的最小值.

詳解：

由題意的縱橫比的縱橫比，

故答案為．

由點F在第四象限，若的縱橫比為1，則在第四象限的角平分線上即可．

如圖設

a、當時，點M在上，則，

此時的橫長的縱長為，

的縱橫比為1，

，

或舍棄，

，

．

b、當時，點M在上，則，

此時的橫長的縱長為，

的縱橫比為1，

，

舍棄，

c、當時，點M在上，則，

此時的橫長的縱長為，

的縱橫比為1，

，

或舍棄，

，

，

綜上所述，點M坐標為或

如圖3中，當時，可得的縱橫比的最大值，

當與相切時，切點在第二象限時，可得的縱橫比的最小值，

，

，

，

，易知，作于H．

，

，

此時的縱橫比，

．