Question

【題目】如圖，矩形中，相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)N，連接．則下列結(jié)論：

①；②；

③；④當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形．

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

通過判斷△AND≌△CMB即可證明①，再判斷出△ANE≌△CMF證明出③，再證明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，進(jìn)而判斷出②，通過 DF與EB先證明出四邊形為平行四邊形，再通過三線合一以及內(nèi)角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，進(jìn)而得到DE=BE，即可知四邊形為菱形．

∵BF⊥AC

∴∠BMC=90°

又∵

∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC

∴∠DNA=∠BMC=90°

∵四邊形ABCD為矩形

∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB

∴∠ADB=∠CBD

∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM

在△AND與△CMB

∵

∴△AND≌△CMB(AAS)

∴AN=CM，DN=BM，故①正確．

∵AB∥CD

∴∠NAE=∠MCF

又∵∠DNA=∠BMC=90°

∴∠ANE=∠CMF=90°

在△ANE與△CMF中

∵

∴△ANE≌△CMF（ASA）

∴NE=FM，AE=CF，故③正確．

在△NFM與△MEN中

∵

∴△NFM≌△MEN（SAS）

∴∠FNM=∠EMN

∴NF∥EM，故②正確．

∵AE=CF

∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB

又根據(jù)矩形性質(zhì)可知DF∥EB

∴四邊形DEBF為平行四邊

根據(jù)矩形性質(zhì)可知OD=AO，

當(dāng)AO=AD時(shí)，即三角形DAO為等邊三角形

∴∠ADO=60°

又∵DN⊥AC

根據(jù)三線合一可知∠NDO=30°

又根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°

故DE=EB

∴四邊形DEBF為菱形，故④正確．

故①②③④正確

故選D．