Question

閱讀下面的材料：

小明遇到一個問題：如圖（1）,在□ABCD中,點E是邊BC的中點,點F是線段AE上一點,BF的延長線交射線CD于點G.如果,求的值.

他的做法是：過點E作EH∥AB交BG于點H,則可以得到△BAF∽△HEF.

請你回答：（1）AB和EH的數量關系為???? ,CG和EH的數量關系為???? ,的值為???? .

（2）如圖（2）,在原題的其他條件不變的情況下,如果,那么的值為???? （用含a的代數式表示）.

（3）請你參考小明的方法繼續探究：如圖（3）,在四邊形ABCD中,DC∥AB,點E是BC延長線上一點,AE和BD相交于點F. 如果,那么的值為???? （用含m,n的代數式表示）.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）3,2,;（2）;（3）mn．

【解析】

試題分析：（1）過E點作平行線,構造相似三角形,利用相似三角形和中位線的性質,分別將各相關線段均統一用EH來表示,最后求得比值;

（2）先作EH∥AB交BG于點H,得出△EFH∽△AFB,即可得出,再根據AB=CD,表示出CD,根據平行線的性質得出△BEH∽△BCG,即可表示出,從而得出的值;

（3）先過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H,得出EH∥AB∥CD,根據EH∥CD,得出△BCD∽△BEH,再進一步證出△ABF∽△EHF,從而得出的值．

試題解析：（1）過點E作EH∥AB交BG于點H,

則有△ABF∽△HEF,

∴,

∴AB=3EH．

∵平行四邊形ABCD中,EH∥AB,

∴EH∥CD,

又∵E為BC中點,

∴EH為△BCG的中位線,

∴CG=2EH,

∴;

（2）作EH∥AB交BG于點H,則△EFH∽△AFB,

∴,

∴AB=aEH．

∵AB=CD,

∴CD=aEH．

∵EH∥AB∥CD,

∴△BEH∽△BCG．

∴,

∴CG=2EH．

∴;

（3）過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H,則有EH∥AB∥CD,

∵EH∥CD,

∴△BCD∽△BEH,

∴,

∴CD=nEH．

又,

∴AB=mCD=mnEH．

∵EH∥AB,

∴△ABF∽△EHF,

∴．

考點：相似形綜合題．