Question

【題目】如圖1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直徑，⊙O交AC于點D，過點D的直線交BC于點E，交AB的延長線于點P，且∠A=∠PDB．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）如圖2，點M是 的中點，連接DM，交AB于點N，若tan∠A= ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結OD；

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，OA=OB，∠A+∠ABD=90°；

又∵OA=OB=OD，

∴∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；

又∵∠A=∠PDB，

∴∠PDB+∠BD0=90°，

即∠PDO=90°，且D在圓上，

∴PD是⊙O的切線；

（2）解：連結OM，過D作DF⊥AB于F；

∵點M是 的中點，

∴OM⊥AB；設BD=x，

∵tan∠A= = ，

∴AD=4x；由勾股定理得：

AB= = x；由三角形的面積公式得： ADBD= ABDF，

∴DF= x，

∵OM∥DF，

∴△OMN∽△FDN，

∴ = = ．

【解析】（1）連結OD；由AB是⊙O的直徑，得到ADB=90°，根據等腰三角形的性質得到∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；得到∠PDO=90°，且D在圓上，于是得到結論；（2）連結OM，過D作DF⊥AB于F；由點M是 的中點，得到OM⊥AB；設BD=x，根據已知條件得到AD=4x；由勾股定理得到AB= = x；根據三角形的面積公式解方程得到DF= x，根據相似三角形的性質即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質和解直角三角形的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能正確解答此題．