Question

【題目】已知：如圖，△ABC中∠ACB的平分線與AB的垂直平分線交于點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC交CB的延長線于點F．

(1)求證：AE＝BF；

(2)若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判斷△ABC的形狀，并證明；

(3)設AB=c， BC=a，AC=b(b>a)，若∠ACB=90°，且△ABC的周長與面積都等于30，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直角三角形；（3）8.5

【解析】

（1）連接AD，根據垂直平分線的性質可得AD=BD，根據角平分線定理可得DE=DF，可證Rt△AED≌Rt△BFD，可得AE=BF；

（2）根據Rt△CED≌Rt△CFD可得CE=CF，進而求得AC的長，利用勾股定理的逆定理即可判斷△ABC的形狀；

（3）利用三角形的面積及周長為30以及勾股定理，求得a、b、c的長，再利用CE=CF，AE=BF，即可解答.

（1）證明：連接AD

∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB

∴DE=DF，∠AED=∠BFD=90°

∵DM垂直平分AB

∴AD=BD

在Rt△AED和Rt△BFD中

∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL）

∴AE＝BF

（2）∵AE=BF

∴CF=CB+BF=CB+AE=10+7=17

在Rt△CED和Rt△CFD中

∴Rt△CED≌Rt△CFD（HL）

∴CE=CF

∴AC=AE+EC=7+17=24

BC2+AC2=102+242=262=AB

∴△ABC是直角三角形

（3）∵△ABC的周長與面積都等于30

∴

由勾股定理得：

∴

解得：

∵CE=CF，AE=BF

設，則

∴