Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE．
（1）猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系，不必證明；
（2）將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針方向旋轉任意角度α，得到如圖2情形．請你通過觀察、測量等方法判斷（1）中得到的結論是否仍然成立，并證明你的判斷．

Answer 1

【答案】
（1）解：延長BG交DE于點H，

在△BCG與△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴∠GBC=∠EDC，BG=DE，

∵∠BGC=∠DGH，

∴∠DHB=∠BCG=90°，

∴BG⊥DE

（2）解：BG=DE，BG⊥DE仍然成立

如圖2，∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，

即∠BCG=∠DCE，

在△BCG與△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴∠GBC=∠EDC，BG=DE，

∵∠BHC=∠DHG，

∴∠BCD=∠DOB=90°，

即BG⊥DE

【解析】（1）延長BG交DE于點H，易證△BCG≌△DCE，所以∠GBC=∠EDC，BG=DE，所以∠DHB=90°；（2）易證△BCG≌△DCE，所以∠GBC=∠EDC，BG=DE，所以∠BCD=90°．
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．