Question

【題目】如圖，圓E是三角形ABC的外接圓， ∠BAC=45°，AO⊥BC于O，且BO=2，CO=3，分別以BC、AO所在直線建立x軸.

（1）求三角形ABC的外接圓直徑；

（2）求過ABC三點的拋物線的解析式；

（3）設P是（2）中拋物線上的一個動點，且三角形AOP為直角三角形，則這樣的點P有幾個？（只需寫出個數，無需解答過程）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）拋物線的解析式為y=-x2+x+6．（3）滿足條件的點P有6個．

【解析】試題分析：（1）如圖1中，連接EB、EC．由BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，可知EB的長，進而得到結論．

（2）如圖2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，連接AE，則四邊形EMON是矩形．利用勾股定理求出點A、B、C三點坐標，利用待定系數法即可解決問題．

（3）①以OA為直徑畫圓與拋物線有4個交點，根據直徑所對的圓周角是直角，可知這樣有4個點P滿足條件．②當PA⊥OA時，有一個點P滿足條件．③當PO⊥OA時，有兩個點P滿足條件．

試題解析：解：（1）如圖1中，連接EB、EC．

∵BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，∴EB=EC=，∴⊙E的直徑為．

（2）如圖2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，連接AE，則四邊形EMON是矩形．

在Rt△EMC中，EM=ON== =，OM=NE=OC﹣CM=，在Rt△EN中，AN===，∴OA=AN+ON=6，∴A（0，6），B（﹣2，0），C（3，0），設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣3），把（0，6）的坐標代入得a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+6．

（3）如圖3中，①以OA為直徑畫圓與拋物線有4個交點，根據直徑所對的圓周角是直角，可知這樣有4個點P滿足條件．

②當PA⊥OA時，有一個點P滿足條件．

③當PO⊥OA時，有兩個點P滿足條件．

所以滿足條件的點P有6個．