Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點P從點B出發，沿BC向點C勻速運動，速度為1cm/s；過點P作PD∥AB，交AC于點D，同時，點Q從點A出發，沿AB向點B勻速運動，速度為2cm/s；當一個點停止運動時，另一個點也停止運動，連接PQ．設運動時間為t（s）（0＜t＜2.5），解答下列問題：

（1）當t為何值時，四邊形ADPQ為平行四邊形？
（2）設四邊形ADPQ的面積為y（cm2），試確定y與t的函數關系式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S四邊形ADPQ：S△PQB=13：2？若存在，請說明理由，若存在，求出t的值，并求出此時PQ的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，

∴AB= =5cm，

∵PD∥AB，

∴當PQ∥AC時，四邊形ADPQ是平行四邊形，

∴ = ，即 = ，

解得，t= ，

答：當t= 時，四邊形ADPQ為平行四邊形

（2）

解：過點P作PE⊥AB，垂足為E，

∵∠PEB=∠C=90°，

∠B=∠B，

∴△BPE∽△BCA，

∴ = ，即 = ，

解得，PE= t，

∵PD∥AB，

∴∠DPC=∠B，

∠C=∠C，

∴△CPD∽△CBA，

∴ = ，即 = ，

解得，PD= ，

∴y=S四邊形ADPQ= ×（PD+AQ）×PE

= ×（ +2t）× t

= t2+ t

（3）

解：若存在某一時刻，使S四邊形ADPQ：S△PQB=13：2，

則y= S△PQB

∵S△PQB= QB×PE=﹣ t2+ t，

∴ t2+ t= （﹣ t2+ t），

解得，t1=0（舍去），t2=2，

則t為2s時，S四邊形ADPQA：S△PQB=13：2，

當t=2時，BP=2，BQ=5﹣4=1，

作QH⊥BC于H，

則QH= ，BH= ，

∴PH= ，

則PQ= = ．

【解析】（1）根據勾股定理求出AB，根據平行四邊形的性質得到PQ∥AC，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；（2）過點P作PE⊥AB，證明△BPE∽△BCA，根據相似三角形的性質求出PE、PD，根據梯形的面積公式計算即可；（3）根據題意列出一元二次方程，解方程求出t，根據相似三角形的性質、勾股定理計算即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的性質的相關知識，掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．