Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，以線段EF的中點G為圓心，以EF為直徑作⊙G，當⊙G最小時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在，P的坐標是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）或

【解析】

（1）首先根據題意得出C，B點坐標，再利用待定系數法求出二次函數解析式即可；

（2）分別利用第一種情況，當以C為直角頂點時，第二種情況，當點A為直角頂點時，得出P點坐標即可；

（3）根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短，進而得出P點坐標即可．

解：（1）由A（4，0），可知OA＝4，

∵OA＝OC＝4OB，

∴OA＝OC＝4，OB＝1，

∴C（0，4），B（﹣1，0）．

設拋物線的解析式是y＝ax2+bx+c，

則，

解得：，

則拋物線的解析式是：y＝﹣x2+3x+4；

（2）存在．

第一種情況，如圖1，當以C為直角頂點時，過點C作CP1⊥AC，交拋物線于點P1．

過點P1作y軸的垂線，垂足是M．

∵∠ACP1＝90°，

∴∠MCP1+∠ACO＝90°．

∵∠ACO+∠OAC＝90°，

∴∠MCP1＝∠OAC．

∵OA＝OC，

∴∠MCP1＝∠OAC＝45°，

∴∠MCP1＝∠MP1C，

∴MC＝MP1，

設P（m，﹣m2+3m+4），則m＝﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1＝0（舍去），m2＝2．

∴﹣m2+3m+4＝6，

即P（2，6）．

第二種情況，如圖1，當點A為直角頂點時，過A作AP2，AC交拋物線于點P2，

過點P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F．

∴P2N∥x軸，

由∠CAO＝45°，

∴∠OAP＝45°，

∴∠FP2N＝45°，AO＝OF．

∴P2N＝NF，

設P2（n，﹣n2+3n+4），則n＝（﹣n2+3n+4）+4，

解得：n1＝﹣2，n2＝4（舍去），

∴﹣n2+3n+4＝﹣6，

則P2的坐標是（﹣2，﹣6）．

綜上所述，P的坐標是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）如圖2，連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD＝EF．

根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC＝OA＝4，

則AC＝＝4，

根據等腰三角形的性質，D是AC的中點．

又∵DF∥OC，

∴DF＝OC＝2，

∴點P的縱坐標是2．

則﹣x2+3x+4＝2，

解得：x＝，

∴當EF最短時，圓最小．點P的坐標是：或．