Question

【題目】愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關系查閱資料時，發現了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設BC=a，AC=b，AB=c．
（1）【特例探究】
如圖1，當tan∠PAB=1，c=4 時，a= ， b=；
如圖2，當∠PAB=30°，c=2時，a= ， b=；

（2）【歸納證明】
請你觀察（1）中的計算結果，猜想a2、b2、c2三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結論．

（3）【拓展證明】
如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點G，AD=3 ，AB=3，求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）4 ；4 ；；
（2）

結論a2+b2=5c2．

證明：如圖3中，連接MN．

∵AM、BN是中線，

∴MN∥AB，MN= AB，

∴△MPN∽△APB，

∴ = = ，

設MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，

∴a2=BC2=4BM2=4（MP2+BP2）=4x2+16y2，

b2=AC2=4AN2=4（PN2+AP2）=4y2+16x2，

c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，

∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．

（3）

解：如圖4中，

在△AGE和△FGB中，

，

∴△AGE≌△FGB，

∴BG=FG，取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，

同理可證△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=CF=2BF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四邊形CEPF是平行四邊形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）可知AB2+AF2=5BF2，

∵AB=3，BF= AD= ，

∴9+AF2=5×（ ）2，

∴AF=4．

【解析】（1）解：如圖1中，

∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN= AB=2 ，
∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，
∴PN=PM=2，PB=PA=4，
∴AN=BM= =2 ．
∴b=AC=2AN=4 ，a=BC=4 ．
故答案為4 ，4 ，
如圖2中，連接NM，

， ∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN= AB=1，
∵∠PAB=30°，
∴PB=1，PA= ，
在RT△MNP中，∵∠NMP=∠PAB=30°，
∴PN= ，PM= ，
∴AN= ，BM= ，
∴a=BC=2BM= ，b=AC=2AN= ，
故答案分別為 ， ．
（1）①首先證明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問題．②連接MN，在RT△PAB，RT△PMN中，利用30°性質求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問題．（2）結論a2+b2=5c2 ． 設MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題．（3）取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結論列出方程即可解決問題．