Question

【題目】如圖1，直線AM⊥AN，AB平分∠MAN，過點B作BC⊥BA交AN于點C；動點E、D同時從A點出發，其中動點E以2cm/s的速度沿射線AN方向運動，動點D以1cm/s的速度運動；已知AC＝6cm，設動點D，E的運動時間為t．

（1）當點D在射線AM上運動時滿足S△ADB：S△BEC＝2：1，試求點D，E的運動時間t的值；

（2）當動點D在直線AM上運動，E在射線AN運動過程中，是否存在某個時間t，使得△ADB與△BEC全等？若存在，請求出時間t的值；若不存在，請說出理由．

Answer 1

【答案】（1）當t＝s或4s時，滿足S△ADB：S△BEC＝2：1；（2）t的值為2s或6s

【解析】

（1）作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．由BA平分∠MAN，推出BG=BH，由S△ADB：S△BEC=2：1，AD=t，AE=2t，可得tBG：（6-2t）BH=2：1，解方程即可解決問題；
（2）存在．由BA=BC，∠BAD=∠BCE=45°，可知當AD=EC時，△ADB≌△CEB，列出方程即可解決問題．

解：（1）如圖2中，

①當E在線段AC上時，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．

∵BA平分∠MAN，

∴BG＝BH，

∵S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，

∴tBG ：（6﹣2t）BH＝2：1，

∴t＝s．

②當點E運動到AC延長線上，同法可得t＝4時，也滿足條件，

∴當t＝s或4s時，滿足S△ADB：S△BEC＝2：1．

（2）存在．當D在AM延長線上時

∵BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，

∴當AD＝EC時，△ADB≌△CEB，

∴t＝6﹣2t，

∴t＝2s，

∴t＝2s時，△ADB≌△CEB．

當D在MA延長線上時，2t﹣6＝t，t＝6s，

綜上所述，滿足條件的t的值為2s或6s