Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=6，D為AC延長線上一點，AC=3CD，過點D作DH∥AB，交BC的延長線于點H．

（1）求BH的長；
（2）若AB=12，試判斷∠CBD與∠A的數量關系，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵DH∥AB，

∴△ABC∽△DHC，

∴ ，

∵BC=6，AC=3CD，

∴CH=2，

∴BH=BC+CH=6+2=8；

（2）解：∠CBD=∠A，

理由是：∵AC=3CD，△ABC∽△DHC，

∴ =3，

∵AB=12，

∴DH=4，

∵DH∥AB，∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠H=90°，

∵AB=12，BC=6，BH=8，DH=4，

∴tan∠CND= ，tanA= ，

∴∠CBD=∠A．

【解析】（1）由已知條件DH∥AB，得出△ABC∽△DHC，再得對應邊成比列，建立方程，即可求出BH的長。
（2）先由△ABC∽△DHC，得出對應邊成比例，求出AB的長，再證明∠H=90°，然后利用三角函數的定義分別求出tan∠CND，tanA的值，即可得出∠CBD與∠A的數量關系。
【考點精析】本題主要考查了平行線的性質和相似三角形的判定的相關知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）才能正確解答此題．