Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，AB=，BC=．某課題小組利用這張矩形紙片依次進行如下操作（每次折疊后均展開）．

如圖①，第一次將紙片折疊，使點B與點D重合，折痕與BD交與點O1，設O1D的中點為D1；

如圖②，第二次將紙片折疊，使點B與點D1重合，折痕與BD交與點O2，設O2D3的中點為D2；

如圖③，第三次將紙片折疊，使點B與點D2重合，折痕與BD交與點O3，設O3D2的中點為D3；

…

根據以上操作結果，回答下列問題：

（1）如圖①，MN是折痕，求證：△DA′M≌△DCN；

（2）分別求出線段BO1、BO2、BO3的長，并直接寫出第n次折疊后BOn的長（用含n的式子表示）；

（3）如圖②，第二次折疊時，折痕一定會經過點A嗎？請通過計算判斷．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、BOn=；(3)、證明過程見解析

【解析】

試題分析：(1)、首先證明DM=DN，再根據AAS即可判斷；(2)、根據題意求出BO1、BO2、BO3，尋找規律后即可解決問題；(3)、結論：第二次折疊時，折痕一定會經過點A．作AE⊥BD垂足為E，求出BE的長，證明點E與點O2重合即可．

試題解析：(1)、如圖①中，

∵四邊形MNDA′是由四邊形MNBA翻折得到，∴∠ABN=∠A′DN=90°，∠BNM=∠MND，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BNM=∠DMN=∠DNM，∴DM=DN，∵∠A′DN=∠ADC，∴∠A′DM=∠NDC，

在△DA′M和△DCN中，，∴△DMA′≌△DNC．

(2)、如圖③中，

，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=90°，AB=CD=，BC=AD=，∴BD===4，

∵BO1=O1D=BD=2=，BO2=BD1==，BO3=BD2==，

…BOn=．

(3)、如圖②中，結論：第二次折疊時，折痕一定會經過點A．

理由：作AE⊥BD垂足為E．

∵∠AEB=∠BAD=90°，∠ABE=∠BAD，∴△ABE∽△DBA，∴=，∴=，

∴BE=，∵BO2=，∴點E與點O2重合，∴第二次折疊時，折痕一定會經過點A．