Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為－8．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．

①設△PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關于x的函數關系式，并求出l的最大值；

②連接PA，以PA為邊作如圖所示一側的正方形APFG．隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在y軸上時，求出對應的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）①15 ②

【解析】試題分析：（1）利用直線解析式求出點A、B的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式解答；（2）①利用直線解析式和拋物線解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根據直線k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根據三角形的周長公式列式整理即可得解，再根據二次函數的最值問題解答；②分（i）點G在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，根據正方形的性質可得AP=AG，∠PAG=90°，再求出∠PAH=∠AGO，然后利用“角角邊”證明△APH和△GAO全等，根據全等三角形對應邊相等可得PH=AO=2，然后利用二次函數解析式求解即可；（ii）點F在y軸上時，過點PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，根據正方形的性質可得AP=FP，∠APF=90°，再根據同角的余角相等求出∠APM=∠FPN，然后利用“角邊角”證明△APM和△FPN全等，根據全等三角形對應邊相等可得PM=PN，從而得到點P的橫坐標與縱坐標相等，再根據二次函數的解析式求解即可．

試題解析：

（1）令y=0，則x﹣=0，解得x=2，

x=﹣8時，y=×（﹣8）﹣=﹣，

∴點A（2，0），B（﹣8，﹣），

把點A、B代入拋物線得，，

解得，

所以，該拋物線的解析式；

（2）①∵點P在拋物線上，點D在直線上，

∴PD=﹣x2﹣x+﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，

∵PE⊥AB，

∴∠DPE+∠PDE=90°，

又∵PD⊥x軸，

∴∠BAO+∠PDE=90°，

∴∠DPE=∠BAO，

∵直線解析式k=，

∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，

∴PE=PDcos∠DPE=PD，

DE=PDsin∠DPE=PD，

∴△PDE的周長為m=PD+PD+PD=PD=（﹣x2﹣x+4）=﹣x2﹣x+，

即m=﹣x2﹣x+；

∵m=﹣（x2+6x+9）+15，

∴當x=﹣3時，最大值為15；

②∵點A（2，0），

∴AO=2，

分（i）點G在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，

在正方形APFG中，AP=AG，∠PAG=90°，

∵∠PAH+∠OAG=90°，∠AGO+∠OAG=90°，

∴∠PAH=∠AGO，

在△APH和△GAO中，

，

∴△APH≌△GAO（AAS），

∴PH=AO=2，

∴點P的縱坐標為2，

∴﹣x2﹣x+=2，

整理得，x2+3x﹣2=0，

解得x=，

∴點P1（，2），P2（，2）；

（ii）點F在y軸上時，過點PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，

在正方形APFG中，AP=FP，∠APF=90°，

∵∠APM+∠MPF=90°，∠FPN+∠MPF=90°，

∴∠APM=∠FPN，

在△APM和△FPN中，

，

∴△APM≌△FPN（AAS），

∴PM=PN，

∴點P的橫坐標與縱坐標相等，

∴﹣x2﹣x+=x，

整理得，x2+7x﹣10=0，

解得x1=，x2=（舍去），

∴點P3（，）

綜上所述，存在點P1（，2），P2（，2），P3（， ）．