Question

【題目】如圖1，在ABCD中，AF平分∠BAD交BC于點F，CE平分∠BCD交AD于點E.

　　　　

圖1　　　　　　　　　　　　　　圖2

(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

(2)如圖2，若BE⊥EC，求證：四邊形ABFE是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）直接利用角平分線的性質再結合平行四邊形的性質進而得出AF∥EC，即可得出答案；
（2）直接利用全等三角形的判定與性質得出AO=FO，BO=EO，進而得出答案．

證明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，

∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.

∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.

∴∠FAE＝∠CED.

∴AF∥EC.

又∵AE∥CF，

∴四邊形AFCE為平行四邊形．

(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，

∴∠AOE＝∠BEC＝90°.

∴∠AOE＝∠AOB＝90°.

在△ABO和△AEO中，

，

∴△ABO≌△AEO(ASA)．

∴BO＝EO.

同理可得△ABO≌△FBO，

∴AO＝FO.

∴四邊形ABFE是平行四邊形．

又∵AF⊥BE，

∴平行四邊形ABFE是菱形．