Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．已知∠AOB=110°．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△AOD是直角三角形．理由見解析；（3）125°，或110°，或140°．

【解析】

試題分析：此題有一定的開放性，要找到變化中的不變量才能有效解決問題．

試題解析：（1）∵CO=CD，∠OCD=60°，

∴△COD是等邊三角形；

（2）當α=150°，即∠BOC=150°時，△AOD是直角三角形．

∵△BOC≌△ADC，

∴∠ADC=∠BOC=150°，

又∵△COD是等邊三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠ADO=90°，

即△AOD是直角三角形；

（3）①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．

∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，

∴190°-α=α-60°

∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．

∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，

∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，

∴α-60°=50°

∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．

∵190°-α=50°

∴α=140°．

綜上所述：當α的度數為125°，或110°，或140°時，△AOD是等腰三角形．