Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是邊BC的中點，連接AO并延長，交DC延長線于點E，連接AC，BE．

（1）求證：四邊形ABEC是平行四邊形；

（2）當∠D＝50°，∠AOC＝100°時，判斷四邊形ABEC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ABEC是矩形，理由見解析.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質可得AB∥CD，可得∠BAO＝∠CEO，∠ABO＝∠ECO，由“AAS”可證△ABO≌△ECO，可得AO＝EO，即可證四邊形ABEC是平行四邊形；

（2）由平行四邊形的性質和三角形外角性質可證AO＝BO，可得AE＝BC，即可得四邊形ABEC是矩形．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠BAO＝∠CEO，∠ABO＝∠ECO，

∵點O是邊BC的中點，

∴BO＝CO，且∠BAO＝∠CEO，∠ABO＝∠ECO，

∴△ABO≌△ECO（AAS），

∴AO＝EO，且BO＝CO，

∴四邊形ABEC是平行四邊形；

（2）四邊形ABEC是矩形，

理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC＝∠D＝50°，

∵∠AOC＝∠ABC+∠BAO＝100°，

∴∠ABC＝∠BAO＝50°，

∴AO＝BO，

∴AE＝BC，

∴ABEC是矩形．