Question

【題目】如圖， 是以為直徑的上的點，，弦交于點.

(1)當是的切線時，求證: ；

(2)求證: ；

(3)已知，是半徑的中點，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）DE＝

【解析】（1）由AB是直徑，可得∠DAB+∠ABD＝90°，再根據 PB是⊙O的切線，可得∠ABD+∠PBD＝90°，根據同角的余角相等即可證得∠PBD＝∠DAB；

（2）證明△BCE∽△DCB，根據相似三角形對應邊成比例可得BC2＝CECD，再根據CD=CE+DE經過推導即可得BC2- CE2= CEDE；

(3) 連接OC，由，AB是直徑，可得∠AOC=∠BOC=90°，根據勾股定理則有CE=OE+CO， BC=OB+CO ，再根據OA=4 ，E 是半徑 OA 的中點，繼而可得BC=4，CE=2，再根據（2）中 BC-CE=CE·DE，即可求得DE的長.

（1）∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠ABD＝90°，

又 ∵ PB是⊙O的切線，

∴PB⊥AB，

∴∠ABP＝90°，即∠ABD+∠PBD＝90°，

∴∠PBD＝∠DAB；

（2）∵，

∴∠BDC＝∠EBC，

又∵∠BCE＝BCD，

∴△BCE∽△DCB，

∴BC：CE=CD：BC，

∴BC2＝CECD，

∴BC2＝CE(CE+DE)，

∴BC2＝CE2+CEDE，

∴BC2- CE2= CEDE；

(3)如圖，連接OC，

∵，AB是直徑，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∴CE=OE+CO， BC=OB+CO ，

∵OA=4 ，E 是半徑 OA 的中點，

∴BC=4，CE=2，

由（2）中 BC-CE=CE·DE，所以 DE=(BC-CE)÷CE=12÷2= ，

故 DE=.