Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠,直角邊AB、BC的長(AB＜BC)是方程 2－7 ＋12＝0的兩個根．點P從點A出發，以每秒1個單位的速度沿△ABC邊 A→B→C→A的方向運動，運動時間為t(秒)．

（1）求AB與BC的長；
（2）當點P運動到邊BC上時，試求出使AP長為 時運動時間t的值；
（3）點P在運動的過程中，是否存在點P，使△ABP是等腰三角形？若存在，請求出運動時間t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0 ∴x1＝3或x2＝4．則AB＝3，BC＝4.

（2）

由題意得AB2+BP2=AP2，則32+（t-3）2=10,

解得t1=4,t2=2（舍）.

即t=4時，AP=.

（3）

存在點P，使△ABP是等腰三角形.

①當AP＝AB＝3時，P在CC，則 t=3+4+5-3=9(秒).

②當BP＝BA＝3時，當P在AC上時， t= (秒)，

當P在BC上時， t=3+3=6 (秒)，

③當BP=AP (即P為AC中點)時， ∴t＝3+4+2.5=9.5(秒).

可知當t為9秒或9.5秒或6 (秒)或(秒)時，△ABP是等腰三角形.

【解析】（1）運用因式分解法求；
（2）由勾股定理構造方程，解出t的值；
（3）分類討論：①當AP＝AB＝3時，②當BP＝BA＝3時，③當BP=AP.
【考點精析】通過靈活運用因式分解法和等腰三角形的性質，掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調整系數等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數，間接配方顯優勢；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）即可以解答此題．