Question

【題目】如圖①，AB是⊙O的直徑，CD為弦，且AB⊥CD于E，點M為上一動點（不包括A，B兩點），射線AM與射線EC交于點F．

（1）如圖②，當F在EC的延長線上時，求證：∠AMD＝∠FMC．

（2）已知，BE＝2，CD＝8．

①求⊙O的半徑；

②若△CMF為等腰三角形，求AM的長（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）5；②8或

【解析】

（1）想辦法證明∠AMD＝∠ADC，∠FMC＝∠ADC即可解決問題；

（2）①在Rt△OCE中，利用勾股定理構建方程即可解決問題；

②分兩種情形討論求解即可.

解：（1）證明：如圖②中，連接AC、AD．

∵AB⊥CD，

∴CE＝ED，

∴AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC，

∵∠AMD＝∠ACD，

∴∠AMD＝∠ADC，

∵∠FMC+∠AMC＝180°，∠AMC+∠ADC＝180°，

∴∠FMC＝∠ADC，

∴∠FMC＝∠ADC，

∴∠FMC＝∠AMD．

（2）解：①如圖②﹣1中，連接OC．設⊙O的半徑為r．

在Rt△OCE中，∵OC2＝OE2+EC2，

∴r2＝（r﹣2）2+42，

∴r＝5．

②∵∠FMC＝∠ACD＞∠F，

∴只有兩種情形：MF＝FC，FM＝MC．

如圖③中，當FM＝FC時，易證明CM∥AD，

∴，

∴AM＝CD＝8．

如圖④中，當MC＝MF時，連接MO，延長MO交AD于H．

∵∠MFC＝∠MCF＝∠MAD，∠FMC＝∠AMD，

∴∠ADM＝∠MAD，

∴MA＝MD，

∴，

∴MH⊥AD，AH＝DH，

在Rt△AED中，AD＝，

∴AH＝，

∵tan∠DAE＝，

∴OH＝，

∴MH＝5+，

在Rt△AMH中，AM＝．