Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，M為CD中點(diǎn)，AM平分∠DAB，AD＋BC＝AB．求證：BM平分∠ABC．

（1）請你簡要敘述小淇證明方法的錯誤之處；

（2）若AB＝5，AM＝3，求四邊形ABCD面積．

Answer 1

【答案】（1）小淇證明方法的錯誤之處為：并沒有證明A、M、F三點(diǎn)共線，不能用三線合一證明BM平分∠ABC；（2）12.

【解析】

（1）小淇證明方法是：利用補(bǔ)短法將BC延長至F，使CF=AD，連接MF（注：此時A、M、F三點(diǎn)不一定共線），然后利用平行得到一組內(nèi)錯角相等，利用SAS證明△ADM≌△FCM，得到AM=FM再利用BF=BC＋CF=BC＋AD=AB證出△ABF是等腰三角形，但此時并不知道A、M、F三點(diǎn)是否共線，故不能用三線合一證明BM平分∠ABC.

（2）添加上證明過程A、M、F共線之后，由（1）中△ADM≌△FCM，可得S四邊形ABCD=S△DAM＋S四邊形ABCM= S△FCM＋S四邊形ABCM== S△ABF，再利用勾股定理即可求出高BM，面積即可求出.

解：（1）小淇證明方法是：將BC延長至F，使CF=AD，連接MF（注：此時A、M、F三點(diǎn)不一定共線），然后利用AD∥BC，得到∠D＝∠MCF.因?yàn)镸為CD中點(diǎn)，所以CM=MD.利用SAS證明△ADM≌△FCM，得到AM=FM，再利用BF=BC＋CF=BC＋AD=AB證出△ABF是等腰三角形，但此時并不知道A、M、F三點(diǎn)是否共線，故不能用三線合一證明BM平分∠ABC.

（2）利用（1）的到的結(jié)論：△ADM≌△FCM

∴∠AMD=∠FMC，AM=FM，S△DAM= S△FCM

∵D、M、C三點(diǎn)共線，

∴∠AMD＋∠AMC=180°

∴∠FMC＋∠AMC=180°

∴∠AMF=180°

∴A、M、F三點(diǎn)共線

∵BF=BC＋CF=BC＋AD=AB，

∴△ABF是等腰三角形

∵AM=FM=3，

∴BM平分∠ABC，且BM⊥AC

在Rt△ABM中

BM=

S四邊形ABCD=S△DAM＋S四邊形ABCM= S△FCM＋S四邊形ABCM== S△ABF=