Question

【題目】定義：如果經過三角形一個頂點的線段把這個三角形分成兩個小三角形，其中一個三角形是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形的三個內角分別相等，那么這條線段稱為原三角形的“和諧分割線”，例如：如圖1，等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”

判斷下列兩個命題是真命題還是假命題填“真”或“假”

等邊三角形必存在“和諧分割線”

如果三角形中有一個角是另一個角的兩倍，則這個三角形必存在“和諧分割線”．

命題是______命題，命題是______命題；

如圖2，，，，，試探索是否存在“和諧分割線”？若存在，求出“和諧分割線”的長度；若不存在，請說明理由．

如圖3，中，，若線段CD是的“和諧分割線”，且是等腰三角形，求出所有符合條件的的度數．

Answer 1

【答案】（1）假，真；（2）（3）的值為或．

【解析】

根據“和諧分割線”的定義即可判斷；

如圖作的平分線，只要證明線段AD是“和諧分割線”即可，并根據三角函數或相似求AD的長；

分2種情形討論即可

等邊三角形不存在“和諧分割線”，不正確，是假命題；

如果三角形中有一個角是另一個角的兩倍，則這個三角形必存在“和諧分割線”，正確，是真命題，

故答案為：假，真；

存在“和諧分割線”，理由是：

如圖作的平分線，

，，

，

，

是等腰三角形，且∽，

線段AD是的“和諧分割線”，

．

如圖3中，分2種情形：

當，∽時，

設，則

，

可得．

當，∽時，

設，則

，

可得．

綜上所述，滿足條件的的值為或．