Question

【題目】已知雙曲線與在第一象限內交于兩點，，則扇形的面積是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

設⊙O的半徑OA=OB=r，連接AB，作直線y=x，與AB交于點C，過A作AD⊥y軸于點D，過B作BE⊥x軸于點E，過A作AF⊥OB于點F．由圓與雙曲線的對稱性得△AOD≌△AOC≌△BOC≌△BOE，進而由反比例函數的比例系數的幾何意義得△AOB的面積，再由三角形的面積公式求得圓的半徑，最后由扇形的面積公式求得結果．

設⊙O的半徑OA=OB=r，連接AB，作直線y=x，與AB交于點C，過A作AD⊥y軸于點D，過B作BE⊥x軸于點E，過A作AF⊥OB于點F．

∵⊙O在第一象限關于y=x對稱，也關于y=x對稱，
∴∠AOC=∠BOC，OC⊥AB，∠AOD=∠BOE，
∵∠AOB=45°，
∴∠AOD=∠AOC=∠BOC=∠BOE=22.5°，
由對稱性知，△AOD≌△AOC≌△BOC≌△BOE，
由反比例函數的幾何意義知，S△AOD＝S△BOE＝×4＝2，
∴S△AOC=S△BOC=2，
∴S△AOB=2+2=4，
∵∠AOB=45°，

∴OA=AF=OF
∴AF=OF=OA＝r，
∵S△AOB=OBAF，
∴4=r×r，
∴r2＝8，
∴S扇形OAB＝＝

故答案為：．