Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，點P、Q分別是AB、AC上的一動點，且滿足BP=AQ，D是BC的中點．

（1）求證：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）當點P運動到什么位置時，四邊形APDQ是正方形，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD

∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中點

∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，

在△BPD和△AQD中，

，

∴△BPD≌△AQD（SAS），

∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，

∵∠BDP+∠ADP=90°

∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°，

∴△PDQ為等腰直角三角形

（2）解：當P點運動到AB的中點時，四邊形APDQ是正方形；理由如下：

∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點，

∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

當P為AB的中點時，DP⊥AB，即∠APD=90°，

又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，

∴四邊形APDQ為矩形，

又∵DP=AP= AB，

∴矩形APDQ為正方形（鄰邊相等的矩形為正方形）．

【解析】（1）連接AD，根據直角三角形的性質可得AD=BD=DC，從而證明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，則△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，從而證出△PDQ是等腰直角三角形；（2）若四邊形APDQ是正方形，則DP⊥AP，得到P點是AB的中點．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和正方形的判定方法是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角．