Question

【題目】如圖①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG，BE．

（1）發現：當正方形AEFG繞點A旋轉，如圖②所示．

①線段DG與BE之間的數量關系是　 　；

②直線DG與直線BE之間的位置關系是　 　；

（2）探究：如圖③所示，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE時，上述結論是否成立，并說明理由．

（3）應用：在（2）的情況下，連接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）①BE＝DG，②BE⊥DG；（2）數量關系不成立，DG＝2BE，位置關系成立．理由見解析；（3）BG2+DE2＝25．

【解析】

（1）先判斷出△ABE≌△DAG，進而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出結論；

（2）先利用兩邊對應成比例夾角相等判斷出△ABE∽△DAG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出結論；

（3）如圖④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延長線于H．設ET=x，AT=y．利用勾股定理，以及相似三角形的性質即可解決問題．

（1）①如圖②中，

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，

∴∠BAE＝∠DAG，

在△ABE和△DAG中，

，

∴△ABE≌△DAG（SAS），

∴BE＝DG；

②如圖2，延長BE交AD于T，交DG于H．

由①知，△ABE≌△DAG，

∴∠ABE＝∠ADG，

∵∠ATB+∠ABE＝90°，

∴∠ATB+∠ADG＝90°，

∵∠ATB＝∠DTH，

∴∠DTH+∠ADG＝90°，

∴∠DHB＝90°，

∴BE⊥DG，

故答案為：BE＝DG，BE⊥DG；

（2）數量關系不成立，DG＝2BE，位置關系成立．

如圖③中，延長BE交AD于T，交DG于H．

∵四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，

∴∠BAD＝∠DAG，

∴∠BAE＝∠DAG，

∵AD＝2AB，AG＝2AE，

∴＝＝，

∴△ABE∽△ADG，

∴∠ABE＝∠ADG，＝，

∴DG＝2BE，

∵∠ATB+∠ABE＝90°，

∴∠ATB+∠ADG＝90°，

∵∠ATB＝∠DTH，

∴∠DTH+∠ADG＝90°，

∴∠DHB＝90°，

∴BE⊥DG；

（3）如圖④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延長線于H．設ET＝x，AT＝y．

∵∠GAH+∠DAG=90°，∠BAE+∠DAG=90°，

∴∠GAH=∠BAE，

又∵∠GHA=∠ATE=90°，

∴△AHG∽△ATE，

∴＝2，

∴GH＝2x，AH＝2y，

∴4x2+4y2＝4，

∴x2+y2＝1，

∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．