Question

【題目】如圖，在矩形中，，，是邊上一點，連接，將矩形沿折疊，頂點恰好落在邊上點處，延長交的延長線于點，連接．

（1）求的值；

（2）求證：四邊形是菱形；

（3）如圖2，，分別是線段，上的動點（與端點不重合），且，設，，請解決以下相關問題：

①寫出關于的函數解析式；

②是否存在這樣的點，使是等腰三角形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見詳解；（3）①，②存在，滿足條件的的值為或．

【解析】

（1）由翻折可知：．，設，則在中，利用勾股定理構建方程即可EC的長，再求FC的長，再求的值即可；
（2）先證四邊形是平行四邊形，再由AD=AF,即可證得四邊形是菱形；

（3）①證明∽，可得，由此即可解決問題．
有兩種情形：如圖中，當時如圖中，當時，作于分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形是矩形，

∴，，

∴，

由翻折可知：．，設，則．

在中，，

∴，

在中，則有：，

∴，

∴,

∴EF=DE=5,FC==4,

∴==;

（2）由翻折可知：∠DAE=∠FAE,AD=AF,

∵,

∴∠DAE=∠FGA,

∴∠FAG=∠FGA,

∴AF=FG,

∴AD=FG,

∴四邊形是平行四邊形，

又∵AD=AF,

∴四邊形是菱形；

（3）①如圖2中，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

②存在．有兩種情形：如圖3-1中，當時，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

如圖3-2中，當時，作于．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

由，可得，

∴，

∴，

∴．

綜上所述，滿足條件的的值為或．