Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB的角平分線交邊CD于點(diǎn)E．點(diǎn)P在射線AE上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AE方向從點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)；過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作平行四邊形，點(diǎn)N在射線AE上，且AP=PN．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）PQ= （用含t的代數(shù)式表示）．

（2）當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時(shí)，求t的值．

（3）設(shè)平行四邊形PQMN與矩形ABCD重合部分面積為S，當(dāng)點(diǎn)P在線段AE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t 的函數(shù)關(guān)系式．

（4）直接寫出在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，整個(gè)圖形中形成的三角形存在全等三角形時(shí)t的值（不添加任何輔助線）．

Answer 1

【答案】（1）t；（2）2；（3）當(dāng)0≤t≤時(shí)，；當(dāng)≤2時(shí)，；當(dāng)≤3時(shí)，；（4）2或3或

【解析】

（1）判斷出ΔAPQ是等腰三角形即可得出結(jié)結(jié)論；

（2）由AP=PN判斷出Q為AB的中點(diǎn)，進(jìn)而求得AQ=2，即可得出結(jié)論；

（3）分三種情況討論：①當(dāng)0﹤t≤時(shí)，重合部分是平行四邊形PQMN；②當(dāng)≤2時(shí)，重合部分是五邊形PQMGE，③當(dāng)≤3時(shí)，重合部分是五邊形PQGCE，分別求解即可；

（4）也是分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)Q是AB的中點(diǎn)時(shí)，ΔAPQ≌ΔQMB；②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，ΔAPQ≌ΔEAD；③當(dāng)ΔPEK≌ΔQGB時(shí)，分別求解即可.

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=45，

∵PQ⊥AB，

∴ΔAPQ是等腰直角三角形，

由運(yùn)動(dòng)知，AP=t，

∴PQ= t；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M落在BC上時(shí)，

∵四邊形PQMN是平行四邊形，

∴PQ∥MN，即PQ∥BN,

∵AP=PN，

∴AQ=QB=2．

∵∠NAB =45°，

∴PQ=AQ=2．

∴t=2

（3）①當(dāng)0≤t≤時(shí)，如圖4，重合部分是平行四邊形PQMN，；

②當(dāng)≤2時(shí)，如圖5，重合部分是五邊形PQMGE，

；

③當(dāng)≤3時(shí)，如圖6，重合部分是五邊形PQGCE，

=，

綜上，當(dāng)0≤t≤時(shí)，；當(dāng)≤2時(shí)，；當(dāng)≤3時(shí)，；．

（4）①如圖7，當(dāng)點(diǎn)Q是AB的中點(diǎn)時(shí)，ΔAPQ≌ΔQMB，此時(shí)；

②如圖8，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，ΔAPQ≌ΔEAD，，

③如圖9，當(dāng)ΔPEK≌ΔQGB時(shí)，由EK=BQ得：t-3=4-t，解得．

綜上，t的值為2或3或．