Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC，CD上，且BE=DF，點P是AF的中點，點Q是直線AC與EF的交點，連接PQ，PD．

（1）求證：AC垂直平分EF；

（2）試判斷△PDQ的形狀，并加以證明；

（3）如圖2，若將△CEF繞著點C旋轉180°，其余條件不變，則（2）中的結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由見解析（3）成立；理由見解析.

【解析】試題（1）由正方形的性質得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出結論；

（2）由直角三角形斜邊上的中線的性質得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再證明∠DPQ=90°，即可得出結論；

（3）由直角三角形斜邊上的中線的性質得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再證明點A、F、Q、P四點共圓，由圓周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出結論．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，

∵BE=DF，

∴CE=CF，

∴AC垂直平分EF；

（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：

∵點P是AF的中點，∠ADF=90°，

∴PD=AF=PA，

∴∠DAP=∠ADP，

∵AC垂直平分EF，

∴∠AQF=90°，

∴PQ=AF=PA，

∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，

∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，

∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，

∴△PDQ是等腰直角三角形；

（3）成立；理由如下：

∵點P是AF的中點，∠ADF=90°，

∴PD=AF=PA，

∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，

∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，

∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，

∴PQ=AF=AP=PF，

∴PD=PQ=AP=PF，

∴點A、F、Q、P四點共圓，

∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，

∴△PDQ是等腰直角三角形．