Question

【題目】聰明好學的亮亮看到一課外書上有個重要補充：

（角平分線定理）三角形一個內角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例．于是他就和其他同學研究一番，寫出了已知、求證如下：

“已知：如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，求證：”

可是他們依然找不到證明的方法，于是，老師提示：過點B作BE∥AC交AD延長線于點E，于是得到△BDE∽△CDA，從而打開思路．

（Ⅰ）請你按老師的提示或你認為其他可行的方法幫亮亮完成證明．

（Ⅱ）利用角平分線定理解決如下問題：

如圖2，△ABC中，E是BC中點，AD是∠BAC的平分線，EF∥AD交AC于F，AB＝7，AC＝15，求AF的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）AF＝4

【解析】

（Ⅰ）構造平行線，利用相似三角形的性質解決問題即可．

（Ⅱ）根據角平分線的性質即可得出，結合E是BC中點，即可得出，由EF∥AD，得出，進而得出，此題得解．

（Ⅰ）證明：如圖1中，過點B作BE∥AC交AD延長線于點E．

∵BE∥AC，

∴∠E＝∠CAE，

∵∠BAE＝∠CAE，

∴∠BAE＝∠E，

∴BA＝BE，

∵BE∥AC，

∴△BDE∽△CDA，

∴，

∴.

（Ⅱ）解：如圖2中，

∵AD是∠BAC的平分線，AB＝7，AC＝15，

∴，

∵E是BC中點，

∴，

∵EF∥AD，

∴，

∴，

∵AC＝15，

∴AF＝4．