Question

閱讀下列材料：

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，點M、N分別在邊AB、BC上，且MN∥AD，記AD=a，BC=b，若，則有結論：。

請根據以上結論，解答下列問題：

如圖2，3，BE、CF是△ABC的兩條角平分線，過EF上一點P分別作△ABC三邊的垂線段PP₁、PP₂、PP₃，交BC于點P₁，交AB于點P₂，交AC于點P₃。

（1）若點P為線段EF的中點，求證：PP₁=PP₂＋PP₃；

（2）若點P在線段EF上任意位置時，試探究PP₁、PP₂、PP₃的數量關系，給出證明。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，過點E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，

∵BE是∠ABC的角平分線，∴ED₁= ED₂。

∵點P為線段EF的中點，且PP₂⊥AB，

∴PP₂∥ED₂。∴。∴，即。

同理，過點F作FG₁⊥BC于G₁，FG₂⊥AC于G₂，得。

在梯形EFG₁D₁中，∵公式中，m=n，

∴（梯形中位線定理）。

∴。

（2）。證明如下：

如圖，過點E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，過點F作FG₁⊥BC于G₁，FG₂⊥AC于G₂，

設，則梯形EFG₁D₁滿足公式，

∴。

公式中，當b=0時，原梯形變為三角形，

∴。

∴。

∴，。

將②③代入①，得。

【解析】（1）過點E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，過點F作FG₁⊥BC于G₁，FG₂⊥AC于G₂，由角平分線上的點到角的兩邊距離相等，可得ED₁= ED₂，FG₁= FG₂。在△FED₂和△FEG₂中應用三角形中位線定理，可得，。在梯形EFG₁D₁中，由公式可證得結論。

（2）同（1）過點E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，過點F作FG₁⊥BC于G₁，FG₂⊥AC于G₂，由角平分線上的點到角的兩邊距離相等，可得ED₁= ED₂，FG₁= FG₂。在△FED₂、△FEG₂和梯形EFG₁D₁中，由公式可求得結論。