Question

閱讀下列材料：
如圖1，⊙O₁和⊙O₂外切于點C，AB是⊙O₁和⊙O₂外公切線，A、B為切點，
求證：AC⊥BC
證明：過點C作⊙O₁和⊙O₂的內公切線交AB于D，
∵DA、DC是⊙O₁的切線
∴DA=DC．
∴∠DAC=∠DCA．
同理∠DCB=∠DBC．
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，
∴∠DCA+∠DCB=90°．
即AC⊥BC．
根據上述材料，解答下列問題：
（1）在以上的證明過程中使用了哪些定理？請寫出兩個定理的名稱或內容；
（2）以AB所在直線為x軸，過點C且垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標系（如圖2），已知A、B兩點的坐標為（-4，0），（1，0），求經過A、B、C三點的拋物線y=ax²+bx+c的函數解析式；
（3）根據（2）中所確定的拋物線，試判斷這條拋物線的頂點是否落在兩圓的連心O₁O₂上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由切線長相等可知用了切線長定理；由三角形的內角和是180°，可知用了三角形內角和定理；
（2）先根據勾股定理求出C點坐標，再用待定系數法即可求出經過A、B、C三點的拋物線的函數解析式；
（3）過C作兩圓的公切線，交AB于點D，由切線長定理可求出D點坐標，根據C，D兩點的坐標可求出過C，D兩點直線的解析式，根據過一點且互相垂直的兩條直線解析式的關系可求出過兩圓圓心的直線解析式，再把拋物線的頂點坐標代入直線的解析式看是否適合即可．

解答：解：（1）DA、DC是⊙O₁的切線，
∴DA=DC．應用的是切線長定理；
∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，應用的是三角形內角和定理．

（2）設C點坐標為（0，y），則AB²=AC²+BC²，
即（|-4-1|）²=（-4）²+y²+1²+y²，
即25=17+2y²，解得y=2（舍去）或y=-2．
故C點坐標為（0，-2），
設經過A、B、C三點的拋物線的函數解析式為y=ax²+bx+c，
則

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

，
故所求二次函數的解析式為y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（3）過C作兩圓的公切線CD交AB于D，則AD=BD=CD，由A（-4，0），B（1，0）可知D（-

3

2

，0），
設過CD兩點的直線為y=kx+b，則

- 3 2 k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 4 3 b=-2

，
故此一次函數的解析式為y=-

4

3

x-2，
∵過O₁，O₂的直線必過C點且與直線y=-

4

3

x-2垂直，
故過O₁，O₂的直線的解析式為y=-

3

4

x-2．
由（2）中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點坐標為（

3

2

，-

25

8

），
代入直線解析式得-

3

4

×

3

2

-2=-

25

8

，故這條拋物線的頂點落在兩圓的連心O₁O₂上．

點評：此題是一道材料分析題．解答時要閱讀材料，獲得解題思路，并根據兩圓外切的條件作出輔助線，結合拋物線和直線的性質解答．