Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，3）、B（6，3），連接AB．如果對于平面內一點P，線段AB上都存在點Q，使得PQ≤1，那么稱點P是線段AB的“附近點”．

（1）請判斷點D（4.5，2.5）是否是線段AB的“附近點”；

（2）如果點H （m，n）在一次函數的圖象上，且是線段AB的“附近點”，求m的取值范圍；

（3）如果一次函數y=x+b的圖象上至少存在一個“附近點”，請直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點D（4.5，2.5）是線段AB的“附近點”；

（2）m的取值范圍是；

（3）b的取值范圍是

【解析】

（1）點P是線段AB的“附近點”的定義即可判斷.

（2）首先求出直線y=x-2與線段AB交于（，3）分①當m≥時，列出不等式即可解決問題.

（3）如圖，在Rt△AMN中，AM=1，∠MAN=45°，則點M坐標（2-，3+），在Rt△BEF中，BE=1，∠EBF=45°，則點E坐標（6+，3-），

分別求出直線經過點M點E時的b的值，即可解決問題.

解：（1）∵點D到線段AB的距離是0.5，

∴0.5<1，

∴點D（4.5，2.5）是否是線段AB的“附近點”；

（2）∵點H（m，n）線段AB的“附加點”，點H（m，n）在直線y=x-2上，

∴n=m-2；

直線y=x-2 線段AB交于（，3）.

①當m≥時，有n=m-2≥3，

又AB∥x軸，∴此時點H（m、n）到線段AB的距離是n-3.

∴0≤n-3，∴≤m≤5.

綜上所述，≤m≤5.

（3）如圖，在Rt△AMN中，AM=1，∠MAN=45°，則點M坐標（2-，3+），

在Rt△BEF中，BE=1，∠ENF=45°，則點E坐標（6+，3-），

當直線y=x+b經過點M時，b=1+，當直線y=x+b經過點E時，b=-3-，

∴-3-≤b≤1+.

“點睛”本題考查一次函數綜合題、線段AB的“附近點”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會分類討論，學會利用特殊點解決問題，屬于中檔壓軸題.