Question

【題目】△ABC中，∠C=90°，點D在邊AB上，AD=AC=7，BD=BC．動點M從點C出發，以每秒1個單位的速度沿CA向點A運動，同時，動點N從點D出發，以每秒2個單位的速度沿DA向點A運動．當一個點到達點A時，點M、N兩點同時停止運動．設M、N運動的時間為t秒．

（1）求cosA的值．

（2）當以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝1或t＝2．

【解析】

試題（1）設BC＝4m，AC＝x，用m表示出AC和AB，根據三角函數定義即可求解.

（2）分⊙O與AB相切，⊙O與AC相切和⊙O與BC相切三種情況討論即可.

（1）設BC＝4m，AC＝x，則BD＝2m，AD＝x，

∵，∴ 16＋＝. 解之得 x＝3m.

從而AB＝5m.

因此cosA＝.

（2）CM＝t，AM＝7－t，DN＝2t，AN＝7－2t，其中0≤t≤3.5，

記以MN為直徑的圓為⊙O，當⊙O與AB相切時，則MN⊥AB，

因此，t＝2，符合題意；

當⊙O與AC相切時，則MN⊥AC，因此，t＝－14，舍去；

當⊙O與BC相切時，如圖，作NE⊥BC，垂足為E．取EC的中點F，連結OF，則OF⊥BC，即點F為⊙O與BC相切的切點．連結MF，NF，則FM⊥FN，因此△FCM∽△NEF．

因此CM·EN＝.

而CM＝t，EN＝，EF＝FC＝EC＝，

因此，整理得，解之得 t＝1，t＝－14（舍去） .

綜上所得，當以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時，t＝1或t＝2．