Question

【題目】問題提出：將正m邊形(m≥3)不斷向外擴展，每擴展一個正m邊形每條邊上的點的個數(以下簡稱“點數”)就增加一個，則n個正m邊形的點數總共有多少個？

問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取將一般問題特殊化的策略，先從簡單和具體的情形入手：

探究一：n個正三角形的點數總共有多少個？

如圖1﹣1，1個正三角形的點數總共有3個；如圖1﹣2，2個正三角形的點數總共有6個；如圖1﹣3，3個正三角形的點數總共有10個；…；n個正三角形的點數總共有　 　個．

探究二：n個正四邊形的點數總共有多少個？

如圖2﹣1，1個正四邊形的點數總共有4個；如圖2﹣2，2個正四邊形的點數總共有9個；

如圖2﹣3，連接AC，得到兩個三角形△ABC和△ADC，這兩個三角形相同之處在于，BC邊與CD邊都有相同個數的點，即4個點，并且與BC、CD平行的邊上依次減少一個點直至頂點A，每個三角形都有10個點，兩個三角形就是2×10個點．因為這兩個三角形在AC上有4個點重合，所以3個正四邊形的點數總共有2×10﹣4＝16(個)．

如圖2﹣4，4個正四邊形的點數總共有　 　個；……n個正四邊形的點數總共有　 　個．

探究三：n個正五邊形的點數總共有多少個？

類比探究二的方法，求4個正五邊形的點數總共有多少個？并敘述你的探究過程．

n個正五邊形的點數總共有　 　個．

探究四：n個正六邊形的點數總共有　 　個．

問題解決：n個正m邊形的點數總共有　 　個．

實際應用：若99個正m邊形的點數總共有39700個，求m的值．

Answer 1

【答案】探究一：；探究二：25，(n+1)2；探究三：(n+1)(3n+2)；探究四：(n+1)(2n+1)；問題解決：；實際應用：m=10

【解析】

探究一：n個正三角形的點數總個數是前(n+1)個數的和；

探究二：4，9，16，25…，發現n個正四邊形的點數總共有(n+1)2個；

探究三：如圖3﹣1，直接數點的個數為5個，如圖3﹣2，連接AC，AD，得到三個三角形，每個三角形都有6個點，就是3×6＝18個點，因為每兩個三角形有3個點重合，所以，2個正五邊形的點數總共有：3×6﹣2×3＝12個；同理得如圖3﹣3，3個正五邊形的點數總共有：3×10﹣2×4＝22個；如圖3﹣4，4個正五邊形的點數總共有：3×15﹣2×5＝35個，確定規律得：n個正五邊形的點數總共有：個；

探究四：如圖3﹣1，直接數點的個數為6個，如圖4﹣2，連接A'C'，A'D'，A'E'，得到4個三角形，每個三角形都有1+2+3＝6個點，就是24個點，因為每兩個三角形有3個點重合，所以，2個正五邊形的點數總共有：4×6﹣3×3＝15個；同理得點的個數依次為：28，45＝5×9，…，(n+1)(2n+1)個；

問題解決：根據以上規律可得結論；

實際應用：將n＝99代入問題解決的等式中解方程即可．

解：探究一：

如圖1﹣1，1個正三角形的點數總共有3個，即3＝1+2；

如圖1﹣2，2個正三角形的點數總共有6個，即6＝1+2+3；

如圖1﹣3，3個正三角形的點數總共有10個，即10＝1+2+3+4；

…；

n個正三角形的點數總共有：個；

故答案為：；

探究二：

如圖2﹣1，1個正四邊形的點數總共有4個，即4＝22；

如圖2﹣2，2個正四邊形的點數總共有9個，即9＝32；

如圖2﹣3，連接AC，得到兩個三角形△ABC和△ADC，這兩個三角形相同之處在于，BC邊與CD邊都有相同個數的點，即4個點，并且與BC、CD平行的邊上依次減少一個點直至頂點A，每個三角形都有10個點，兩個三角形就是2×10個點．因為這兩個三角形在AC上有4個點重合，所以3個正四邊形的點數總共有2×10﹣4＝16(個)，即16＝42；

如圖2﹣4，連接AC，得到兩個三角形△ABC和△ADC，這兩個三角形相同之處在于，BC邊與CD邊都有相同個數的點，即5個點，并且與BC、CD平行的邊上依次減少一個點直至頂點A，每個三角形都有15個點，兩個三角形就是2×15個點．因為這兩個三角形在AC上有5個點重合，所以4個正四邊形的點數總共有2×15﹣5＝25(個)，即25＝52；

∴n個正四邊形的點數總共有個；

故答案為：25，(n+1)2；

探究三：

如圖3﹣1，1個正五邊形的點數總共有5個，即；

如圖3﹣2，連接AC，AD，得到三個三角形，每個三角形都有6個點，就是3×6＝18個點，因為每兩個三角形有3個點重合，所以，2個正五邊形的點數總共有：3×6﹣2×3＝12個，即；

如圖3﹣3，連接A'C'，A'D'，得到三個三角形，每個三角形都有10個點，就是3×10＝30個點，因為每兩個三角形有4個點重合，所以，3個正五邊形的點數總共有：3×10﹣2×4＝22個，即；

如圖3﹣4，連接AC，AD，得到三個三角形，每個三角形都有15個點，就是3×15＝45個點，因為每兩個三角形有5個點重合，所以，4個正五邊形的點數總共有：3×15﹣2×5＝35個，即；

…

同理得：n個正五邊形的點數總共有：(n+1)(3n+2)個；

故答案為：(n+1)(3n+2)；

探究四：

如圖4﹣1，1個正六邊形的點數總共有6個，即6＝2×3；

如圖4﹣2，連接A'C'，A'D'，A'E'，得到4個三角形，每個三角形都有6個點，就是4×6＝24個點，因為每兩個三角形有3個點重合，所以，2個正六邊形的點數總共有：4×6﹣3×3＝15個，即15＝3×5；

如圖4﹣3，連接AC，AD，AE，得到4個三角形，每個三角形都有10個點，就是4×10＝40個點，因為每兩個三角形有4個點重合，所以，3個正六邊形的點數總共有：4×10﹣3×4＝28個，即28＝4×7；

…

同理得：4個六五邊形的點數總共有：5×9＝45個；

n個正六邊形的點數總共有：(n+1)(2n+1)個；

故答案為：(n+1)(2n+1)；

問題解決：

∵n個正三角形的點數總共有：(n+1)(n+1)個；

n個正四邊形的點數總共有：(n+1)(n+1)個；

n個正五邊形的點數總共有：(n+1)(n+1)個；

n個正六邊形的點數總共有：(n+1)(2n+1)個；

…

∴n個正m邊形的點數總共有：個；

故答案為：；

實際應用：

由規律得：n＝99時，，

解得：m＝10．