Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，AB＝8，點M在圓O上，∠MOB＝60°，N是的中點，P為AB上一動點，則PM+PN的最小值是_____．

Answer 1

【答案】4．

【解析】

作點M關于AB的對稱點M'，連接NM'，交AB于點P，此時PM＋PN有最小值，連接ON，OM，利用垂徑定理，求出∠M'OB＝∠MOB＝60°，進一步求出∠NOM'＝90°，在等腰直角三角形NOM'中求出NM'的長度即可．

解：如圖，作點M關于AB的對稱點M'，連接NM'，交AB于點P，此時PM+PN有最小值，

連接ON，OM，

則OB垂直平分MM'，，

∴∠M'OB＝∠MOB＝60°，

∵N是的中點，

∴，

∴∠MON＝∠BON＝∠MOB＝30°，

∴∠NOM'＝∠NOB+∠M'OB＝90°，

∵AB＝8，

∴ON＝OM'＝4，

在等腰Rt△ONM'中，

NM'＝ON＝4，

∵MP＝M'P，

∴MP+NP＝M'N＝4，

故答案為：4．