Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A（0，b）、點B（a，0）、點D（d，0）且a、b、c滿足．DE⊥x軸且∠BED=∠ABD，BE交y軸于點C，AE交x軸于點F．

（1）求點A、B、D的坐標；

（2）求點C、E、F的坐標；

（3）如圖，過P（0，-1）作x軸的平行線，在該平行線上有一點Q（點Q在P的右側）使∠QEM=45°，QE交x軸于N，ME交y軸正半軸于M，求的值．

Answer 1

【答案】(1)A(0,3) B(-1,0) D(2,0)；(2) E(2,1) F(3,0)；(3)

【解析】

（1）由非負數的性質可求得a、b、d的值，可求得A、B、D的坐標；

（2）由條件可證明△ABO≌△BED，可求得DE和BD的長，可求得E點坐標，再求得直線AE與BE的解析式，可求得C、F點坐標；

（3）過E作EG⊥OA于點G，EH⊥PQ于點Q，可證明四邊形GEHP為正方形，在GA上截GI=QH，可證明△IGE≌△QHE，可證得∠IEM=∠MEQ=45°，可證明△EIM≌△EQM，可得到IM=MQ，再結合條件可求得PH=AI=PQ，可求得答案．

解：（1）∵，

∴

∴，

∴A（0，3），B（-1，0），D（2，0）；

（2）∵A（0，3），B（-1，0），D（2，0），

∴OB=1，OD=2，OA=3，

∴AO=BD，

在△ABO和△BED中，

，

∴△ABO≌△BED（AAS），

∴DE=BO=1，

∴E（2，1），

設直線AE解析式為：y=kx+b，直線BE解析式為：y=mx+n，如圖1，

把點A、E代入y=kx+b，把點B、E代入y=mx+n，得

，，

解得：，，

∴直線AE解析式為：，

直線BE解析式為：，

∴直線，令，解得：，

∴點F為：，

∴直線，令，解得：，

∴點C為：；

（3）過E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分別為G、H，在GA上截取GI=QH，如圖2，

∵E（2，1），P（-1，0），

∴GE=GP=GE=PH=2，

∴四邊形GEHP為正方形，

∴∠IGE=∠EHQ=90°，

在Rt△IGE和Rt△QHE中

，

∴△IGE≌△QHE（SAS），

∴IE=EQ，∠1=∠2，

∵∠QEM=45°，

∴∠2+∠3=45°，

∴∠1+∠3=45°，

∴∠IEM=∠QEM，

在△EIM和△EQM中，

，

∴△EIM=EQM（SAS），

∴IM=MQ，

∴AM-MQ=AM-IM=AI，

由（2）可知OA=OF=3，∠AOF=90°，

∴∠A=∠AEG=45°，

∴PH=GE=GA=IG+AI，

∴AI=GA-IG=PH-QH=PQ，