Question

【題目】先閱讀下列材料，再解答下列問題：

題：分解因式：

解：將“”看成整體，設，則原式＝

再將“”還原，得原式＝.

上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數學解題中常用的一種思想方法，請你仿照上面的方法解答下列問題：

(1)因式分解： ； .

(2)因式分解： ； .

(3)求證：若為正整數，則式子的值一定是某一個正整數的平方．

Answer 1

【答案】(1)；.(2)；；（3）證明見解析.

【解析】

（1）把（2a+b），（3a+2b），(2a+3b)分別看作一個整體，直接利用平方差公式因式分解即可；

（2）把（x-y）看作一個整體，直接利用完全平方公式因式分解即可；把(a+b) 看作一個整體，代入后利用完全平方公式因式分解即可；

（3）將原式轉化為（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1，進一步整理為（n2+3n+1）2，根據n為正整數得到n2+3n+1也為正整數，從而說明原式是整數的平方．

(1)因式分解：=；

=

=.

(2)因式分解：(x-y+1)2；

令A=a+b，則原式變為A（A-4）+4=A2-4A+4=（A-2）2，

故（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）2.

(3) （n+1）（n+2）（n2+3n）+1

=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1

=（n2+3n）（n2+3n+2）+1

=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

=（n2+3n+1）2，

∵n為正整數，

∴n2+3n+1也為正整數，

∴代數式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一個整數的平方．