Question

【題目】已知：如圖，AB為⊙O的弦，過點O作AB的平行線，交⊙O于點C，直線OC上一點D滿足∠D＝∠ACB．

（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若⊙O的半徑等于4，tan∠ACB＝，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CD=1

【解析】

（1）相切，連接OB，通過平行線、弦切角定理、等邊對等角，得出相等的角，然后將這些相等的角進行置換，最終轉換到一個三角形中，根據三角形的內角和來求出度數，從而得出∠OBD=90°．

（2）先求得∠D的正切值，在直角三角形OBD中，有半徑的長和∠D的正切值，可用正弦函數求出OD的長，從而求出CD的長．

（1）直線BD與⊙O相切．

證明：如圖，連接OB．

∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，

∴∠2=∠CBD，

∵AB∥OC，

∴∠2=∠A，

∴∠A=∠CBD．

∵OB=OC，

∴∠BOC+2∠3=180°．

∵∠BOC=2∠A，

∴∠A+∠3=90°．

∴∠CBD+∠3=90°．

∴∠OBD=90°．

∴直線BD與⊙O相切．

（2）∵∠D=∠ACB，tan∠ACB=，
∴tan∠D=．
∵∠OBD=90°，OB=4，tan∠D=，

∴，

∴CD=OD-OC=1．